在力学模型中，质点和刚体构成了非变形体模型（理论力学），相对应的变形体模型中典型结构模型包括杆、柱、梁、轴（材料力学），桁架、框架（结构力学），板、壳（板壳结构）等。质点和刚体模型主要在于研究物体外部力的平衡、物体宏观运动规律，以及力学与运动之间的关系；而变形体力学不仅需要研究物体外部特征外，还要进入材料的内部，分析结构或材料的强度、刚度、稳定性问题。因此，理论力学是所有力学课程的基础，质点就成为力学课程中最简单的力学模型，同时也是刚体、变形体力学的基础。许多力学原理，如速度合成、平衡体系、碰撞定律、动量、能量守恒等都是在质点模型下研究出来的。本文通过对质点的概念辨析，提出质点模型的简化原则。

首先，“点”在数学上表示空间的一位置，它没有大小，也没有形状。“质点”即有质量的点。质点只占据空间位置，而不占有空间体积！质点在实际中并不存在，即便是原子、电子等微观粒子也会有一定的体积，从而占有一定的空间。在分析问题中，可简化为质点模型的主要有三种情况：一、研究对象相对于其所处空间非常小；二、物体上各点运动完全一致时可简化为质点；三、依据一定的研究目标可以简化为质点。

第一种情况是质点模型应用的最常见形式。例如，研究行星运动轨迹时，尽管在我们看来行星体积都非常大，但在宇宙尺度内，行星的体积就显得小很多，哥白尼、第谷、开普勒、牛顿等人都是采用了质点模型来研究天体运动，从而建立天体运动定律。再如一辆行驶在路上的汽车、河流中漂浮的皮球等，都因研究对象与其所处空间相比非常小，简化为质点进行研究。

第二种情况下，尽管物体的体积较大，其所处空间也算不上很大，但由于物体上各点的运动轨迹完全一致（在运动学中称为平动，与转动相对，平动与转动共同成为刚体运动），物体上的任意一点都可以表示物体的运动轨迹、速度、加速度等运动特征，这时物体的运动也可以简化为质点处理。例如人推车前进，虽然车较大，行进的距离也不算太远，由于车的各点运动都一样，也可以用质点简化进行处理。

第三种情况比较复杂，对于一些复杂的研究对象，可通过等效概念建立相应的质点模型。例如将梁的振动问题等效为弹簧-质量的一维振动问题。如下图，为了分析梁中点在冲击载荷下的动态响应u(t)（下图(a)），由于本问题只关心中点动态响应可等效为下图(b)所示弹簧-质量模型等效梁弯曲试验，即通过等效质量me和等效刚度k(a)，利用质量块的动态响应研究梁中点的动态响应。弹簧-质量模型是研究动力学问题的典型模型，某些周期材料的动力学行为也可以简化为弹簧-质量系统进行求解。

a) 冲击载荷下梁的动态响应                 (b)弹簧质量模型

在质点的学习中，要注意质心/重心的区别。质心/重心是将物体质量集中在假想一点，这点可以在物体内部也可以在物体的外部，在均匀的重力场中质心和重心是重合的。需要我们注意的是，质点简化结果是一个有质量的点，这个点是“实”的，但所研究物体已经没有空间大小概念，以点的形式出现。研究质心/重心是假想的点，是“虚”的，所研究物体保留着原有的大小和形状。这是质点与质心/重心的主要区别之处。实际上质心/重心，即物体上任意点的质量/重量乘以坐标，在物体所在域上的积分，与全部质量或重量乘以某一坐标的等效平衡。

在振动力学中，弹簧-质量系统（也叫简谐振子）经常被用到，其模型为弹簧的一端固定，另一端连接一小球，在给定初始位移下小球做自由振动（见下图）。振子模型中的小球，尽管我们一般会画的比较大，好像明显不再是一个点，但确切的说它就是质点模型，它表示只有质量没有大小的点。这个点画的大一些是为了和弹簧的比例协调，体现了视觉美感。

一个问题是否可以简化为质点模型，一个很重要的参考指标在于研究目标，即通过一点是否可以解决所要分析的问题。同一个研究对象根据不同的研究目的可以采用或不采用质点模型。例如研究人造卫星的轨道可以简化为质点进行分析，但要对卫星进行姿态调整就不能将其视为质点而应视为刚体考虑；分析汽车的运行状态，一般情况下可以看作质点模型，但在研究汽车转弯时的侧翻情况就不能看作质点而应作为刚体考虑等。

由此可以看出，一个物体是否可以看作质点，其关键不在物体的本身，而在于所研究问题的目的。事实上，不同力学模型的提出，根本是为了方便的解决问题，也就是说力学模型的选取只有两个基本原则：一是解决问题的有效性，二是解决问题的方便性。对于所有的力学模型简化，应该记住人是主人，在学习中如何选择模型应该深入追问针对于该问题，自己的研究目标是什么？清楚了研究目标，你就可以知道质点模型能否解决你的问题，只要能解决你的问题选用质点模型就没有问题。

作者：张伟伟，太原科技大学力学系副教授

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来源：张伟伟的科学网博客

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