面对同样的问题,大多数情况下现实与数学并不能完全对应,例如随机事件,现实中的随机事件很少具备等可能性特征,我非常赞成这句话:“客观中的任意概率都存在物理的能量对应的必然”,这句话非常深刻,也很好说明了为什么现实中的随机事件通常不是等可能的。例如,正常情况下,一个班级或年级的学生考试成绩应服从正态分布,这个分布并不是数学证明出来的,而是统计推断出来的。但数学中的随机事件通常都要做等可能性假设,也就是遵循所谓的无差别原则,为什么做这种假设是不言自明的,如果不做这种假设,很多数学问题将变得异常复杂,甚至无法计算,当然,这种假设也给概率学家带来了不少困惑,例如前面提到的贝特朗悖论。
这不等于说数学在现实中无能为力,事实上,数学在自然科学、社会科学、日常生活甚至军事上发挥了举足轻重的作用。例如,第二次世界大战期间,数学家Von.Neumann担任了美国原子能委员会的主席,世界上第一颗原子弹的爆炸半径就是他带领的数学小组计算出来的。虽然现实中的随机与数学中的随机有着很大不同,但这并不影响概率论作为一门数学理论在现实中发挥重要的作用,例如概率在军事上曾经发挥了非同小可的威力。很多年以前听说过这样一个故事,第二次世界大战期间,数学家们根据德国在各个战场上的兵力部署估算出德国的整体兵力,这个数字与很多年后的档案解密公布的数字非常吻合。还有一个例子是说德国人的,二战期间,德国人设计了一种主要用来轰炸伦敦的飞弹,它是一种小型无人驾驶飞行器,由一个简易的冲压式喷气发动机驱动,时速575公里,射程240公里。它们由斜面式发射架指向伦敦发射,当燃料耗尽时落向地面,威力相当于含有1吨爆炸物的炸弹。在发射的8600枚飞弹中,大约有一半穿过了防御阵地,其余的被高射炮和战斗机击落。数学家通过泊松分布,可以预测下一波炸弹的落点,非常准确。可见,概率的现实意义是毋庸置疑的。
纯数学的随机事件大多带有人为因素,正由于此,站在不同的角度便产生了不同的概率问题。在中学数学中,除了古典概型基本没有争议之外,几何概型争议不断,出现这些争议的原因是什么?真的是谁对谁错的问题吗?我们根据什么来判断哪个正确哪个错误?在这个问题上,中学教学中颇多自相矛盾之处。很多人持这种观点,如果是从一点出发的射线或直线,则合理的随机设定是角度随机,如果是看集合里的点,则合理的随机设定是点随机,因而前者“角度”具有等可能性,后者“点”具有等可能性,例如第一篇博文中所举例子中所谓的正确解答便是设定角度随机。然而,有意思的是,教材中类似的问题又设定点随机,例如飞镖问题便是假定投中靶子中的每一点是等可能的。我们知道,投射飞镖也可以近似看成从一点出发的射线(实际是抛物线),按照所谓的合理设定,应该以角度作为随机变量,为什么教材中偏偏设定点随机呢?到底谁对谁错?有人撰文说教材中的靶子问题不是均匀分布,你根据什么说不是均匀分布?实验的结果还是证明的结果?恐怕都不是,你也是根据所谓的角度随机来作为判断的依据。那么你这样的依据是符合实际还是符合数学上的某种原则或公理?如果都不是,你认为教材处理错误未免太武断了。事实上,现实中飞镖问题的确不可能是均匀分布,但这个不均匀性既不是来自数学证明,也不是来自数学的所谓合理性,而是来自背后的物理能量,因为投飞镖者总是希望投中目标,主观上会控制飞镖的走向,所以,不同的人会有不同的概率分布。
中学几何概型要不要保留?所引起的争议是人为的还是客观的?我认为几何概型可以保留,但要搞清楚几个问题:1、教几何概型的目的是什么?2、教几何概型应遵循什么原则?3、争议是不是必然的?如果这几个问题弄清楚了,也就清楚有没有必要教几何概型了。
1、现实中出现的随机事件中样本空间并非都是离散甚至有限的,连续型的样本空间的确存在,让学生了解这一点没有坏处,所以我主张中学阶段如果保留概率,也应该保留几何概型。
2、教几何概型的目的是为了让学生了解除了古典概型之外,还有样本空间更复杂的概型,但重在理解,不宜太复杂,以投飞镖为例,如果不设定点随机,而是设定角度随机,问题将变得较为复杂,以下图为例:
如果设定点随机,直接计算相关面积就可以了,但如果设定角度随机,情况则非常复杂,有几个学生能计算出来?至少需要微积分的帮助。这就引出了第三个问题:
3、争议是不是必然的?既然都是人为的预设,而且都缺少现实或科学的依据,所谓设定的合理性不过也是经验之谈,那么根据从简原则,可以根据需要设定相应的随机事件。但不管如何设定随机性,应该在问题中明确说明,这样自然不会产生争议。正如有些几何概型中假定飞镖投中某个区域的概率是1/4,投中另一个区域的概率是1/3,这种假设的根据是什么?如果是没有依据的纯粹数学游戏,为什么射线问题不可以设定点随机?关键不在于你如何设定,而是你有没有明确说明随机事件中的随机是如何设定的,只要说明了,一切的争议自然都烟消云散。
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作者:曹广福(科学网博客)
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