如果有人问你，人类飞向太空的第一阻力是什么？大多数人会不约而同地回答：是引力。的确如此，人类实现飞天梦的最艰难历程就是克服地球的引力。我们从中学物理中就学到了如何计算几个宇宙速度，那是人类摆脱地球或太阳引力的束缚冲向太空的几道门槛：如果达到第一宇宙速度（7.9km/s）能让物体围绕地球旋转；如果达到第二宇宙速度（11.2km/s）便可以克服地球引力，绕着太阳转；第三宇宙速度（16.7km/s）标志着能够摆脱太阳的引力羁跘。
旅行者计划
不过，想跨越这几个门槛谈何容易？人类努力了几十年，迄今为止发射速度最快的航天器“新地平线”（New Horizons），2006年发射时相对地球的速度为16.26 km/s，尚未达到第三宇宙速度。然而，人类于39年前发射的两个旅行者探测器（voyager1和2），旅行中的最高速度，却大大超过了这个速度。这其中有何奥秘呢？人造飞行器额外的动能从何而来？
图1： “新地平线”和“旅行者”
以上问题的答案也是：引力。也就是说，对人类发射的航天飞行器而言，引力有时是阻力，有时又可能成为“推力”，我们可以利用太阳系中各大行星与飞行器间的引力作用，来加速飞行器。换个通俗的说法，让飞行器从高速运动的行星旁边掠过，顺便让自己得到加速度，从行星身上“揩点油”！
这种方法叫做“引力助推”，航天技术中经常使用来改变飞行器的轨道和速度，以此节省燃料、时间和成本，这种方法既可用于加速飞行器，也可用于在一定的情况下降低飞行器的速度。
图1a中的红色曲线所示，便是旅行者2号的速度在飞行过程中的变化情形。注意图中的速度是相对于太阳系坐标而言，因而与我们提及的相对于地球坐标而言的“宇宙速度”值有所区别，其差值是地球的公转速度，大约30km/s。红色曲线上的4个尖峰分别代表该飞行器在土星、木星、天王星、海王星经过时因为“引力助推”而产生的速度变化。图中也画出了NASA在2006年1月发射的“新地平线”的速度曲线（绿色），与“旅行者”的速度曲线相比较，明显地看出在四个行星附近，“引力助推”对旅行者2号的加速作用。图1b则显示了两个旅行者探测器的行程。
不过，引力助推的方法要碰上一定的时机，机会可遇不可求。在1964年夏天，美国航天局喷气推进实验室一位名为Flandro的研究员，负责研究探索太阳系外行星的任务。Flandro经过计算研究木星，土星，天王星和海王星的运动规律，发现了一个176年才有一次的最好时机，那段时间（大约12年）以内，木星、土星、天王星和海王星都将位于太阳的同一侧，运行至实现“引力助推”的理想地点，形成一个特别的行星几何排阵。基于这点，专家们促使NASA启动了“旅行者探测器”计划。
1977年8月20日和9月5日，旅行者2号和旅行者1号从佛罗里达州的航天中心发射【1】，她们是两个几乎一模一样的“双胞胎姐妹”航天器，携带着镌刻了地球人类的消息和录音的金唱片，她们的计算机的内存只有64KB（40年前的老古董电子设备，诸位可想而知是什么模样！）。旅行者2号，比她“姐姐”的速度稍慢一点，但她丰富多产，成果不菲，顺利完成了造访4个外行星的任务。这对“姊妹花”都曾经探测过土卫六的地貌，虽然不很成功，但也为后来的探索提供了许多有用的信息。土卫六是土星卫星中最大的一颗，被认为极有可能存在生命迹象！旅行者2号旅途中的四次“引力助推”，将原来需要40年完成的“4行星探索”任务，在10年左右的时间内就提前完成了！旅行者1号在很快地访问了木星和土星之后，继续它的高速飞行，如今已经越过太阳系的边界，到达星际空间，成为了飞出太阳系的第一个人类使者。两位“旅行者”虽然早已完成为她们预订的任务，却并未“退休”，至今为止，仍然通过遥遥星空，每天向人类发来有用的资料，因为她们离地球距离遥远，这些信息延迟17小时左右。
引力助推原理
最早（1918-1919）提出这个想法的是一位前苏联物理学家尤里∙康德拉图克。尤里于1897年生于前苏联的乌克兰，是太空工程与航天学的一位先驱和理论家，曾被苏联政府流放和监禁，但他在艰难的环境下不忘钻研航天理论。后来，第二次世界大战中，尤里自愿入伍加入苏联红军，并于1943年在战争中阵亡。
图2：理解引力助推（或称重力弹弓）原理的直观图
尽管精确地计算飞行器的引力助推过程需要复杂的数学，但其物理原理却可以用图2中的例子，简单地使用动量守恒定律来直观解释。引力助推也被称为“重力弹弓”，因为它与弹性碰撞颇为类似。它利用飞船与行星及太阳之间的万有引力，使行星与飞船交换轨道能量，像弹弓一样把飞船抛出去。如图2右图所示，想象将一个篮球投向一列对面疾驶而来的火车。设篮球速度为V1=30mph，火车速度U=50mph，方向相反。最后结果如何？考虑火车的质量比篮球质量大很多，篮球质量几乎可以忽略不计的简单情况下，得到的结论是：在碰撞之后，篮球从火车那儿“捞了一把”，将以V2=V1+2U=130mph的速度向后方（火车的前方）飞去。火车因为质量大，速度几乎不变，仍然以原来的速度U照常行驶。人类发射到土星轨道附近的飞船与土星相遇时的情形便与刚才描述的“篮球撞火车”情形十分类似，只是飞船与土星并未直接接触，而是像图2左图所示的那样绕行过去，引力在其中扮演着重要的角色。两者的物理原理虽然不同，但最后效果却是类似的：飞船得到了两倍土星速度的速度增值。
也许有人会觉得以上的说法有违能量守恒。结论当然不是如此，实际上在两种情形下严格的计算都需要用到能量守恒。篮球的速度增加了，虽然看起来对火车似乎没有影响，但应该有那么一点极其微小的扰动，篮球增加的动能最终是来自于火车的动力系统。在飞船的情况，能量则来自行星或太阳系。
图3：研究引力助推的迈克尔Minovitch
引力助推想法早已被前苏联物理学家提出，据说苏联月球3号应用此技术，曾经绕到月球背面拍下了照片。但是，真正认识并深入研究这项技术的人是美国数学家迈克尔Minovitch（见图3）【2】。
迈克尔当时（60年代初）还只是加州大学洛杉矶分校的一名研究生，他因为研究“三体问题”而得到了使用当时最快的计算机的机会，也就是在他模拟“三体问题”的过程中发现，一艘飞船飞经绕日的行星，可以在不使用任何火箭燃料的情况下窃取行星的一点轨道速度加速离开太阳，迈克尔并由此而认识到重力弹弓对加速航天器的巨大潜力，并说服NASA将此思想运用于实践。
三体问题和拉格朗日点
三体问题的历史悠久，还得从牛顿时代说起。
牛顿创建了微积分和万有引力定律之后，自然首先迫不及待地将它们用于研究天体的运动问题。他用数学方法严格地证明了开普勒三大定律，使二体问题得到了彻底的解决。所谓的二体问题就是说，只考虑两个具有质量m1和m2的质点之间的相互作用（通常是考虑万有引力）时，研究它们的运动情况。也就是说，像地球的自转啦、形状啦等等，我们是统统不考虑的。二体问题数学上可以归结为求解如下的微分方程：
公式中的F12和F21是两个质量之间的作用力，在天体运动情况下是万有引力，在微观世界中可以是其它的力，比如电磁作用之类的。不过我们以后在谈及二体、三体、或N体问题时，只考虑万有引力。牛顿时代就已经得到了上述二体问题微分方程的精确解，凡是学过中学物理的人都知道，这时的两个质点在一个平面上绕着共同质心作圆锥曲线运动，轨道可以是圆、椭圆、抛物线或者双曲线。不过，在大多数实用情况下，人们通常感兴趣的是椭圆轨道类型的问题，因为对其它两种情况，天体逃之夭夭，不知跑到哪里去了，也许有了新的同伴，那就是另外的新问题了。因此，之后考虑三体问题时，大多数情况，我们也只讨论互相作绕圈运动的情形。
二体问题的成功解决给牛顿以希望，他自然地开始研究三体问题，没想到从2加到3之后的问题使牛顿头痛不已。岂止是牛顿，之后的若干数学家，即使直到几百年之后的今天，三体问题仍然未能圆满地解决，大于3的N体问题自然就更为困难了。如此困难的三体问题却是天体运动中非常常见的情况。比如考虑太阳、地球、月亮三者，或者如上所述，研究飞船、行星、太阳的运动规律时，就是典型的三体问题。
从数学方法来说，解2体和3体问题都是解微分方程组，但2体问题可以通过求积分就简单解决了，同样的方法却无法对付三体问题。但数学家们总有他们的办法，问题解不出来时就将其简化。既然二体问题之解令人十分满意，那就在二体问题解的基础上做文章。首先可以假设，3个天体中其中两个的质量m1和m2比第3个质量m要大得多。所以，第3个小天体对两个大天体的影响完全可以忽略，这样就可以将两个大天体的运动作为二体问题解出来。然后，再将第三个天体看作是在前两个天体的引力势场中运动的粒子而求解其运动方程。这样简化后的问题被称之为“限制性三体问题”。但实际情况令人很不愉快，即使是简化到了这种地步，小质点m的运动方程仍然无法求解。
于是，又进一步简化成“平面限制性三体问题”，就是要求三个质点都在同一个平面上运动，但似乎还是得不出方程的通解。
得不到通解便研究一些近似解和特殊解，这两方面倒是有点成效。颇为成功的近似方法是“摄动理论”，实质上就是一种微扰法。考虑两个物体的运动，将第三个物体的作用作为对前两者的微扰。这种方法解决和预测太阳系中的一些现象卓有成效。
对“平面限制性三体问题”，18世纪的欧拉和拉格朗日则求到了小质量运动方程的几个特解【3】，见图4。
图4：小质量天体在两体系统中的拉格朗日点
图5：木星的特洛伊群小行星
这些小质量在两体系统中的特解被统称为称为拉格朗日点。这是指在两大物体引力作用下，能使小物体暂时稳定的几个点，其中的L1、L2、L3实际上是欧拉得到的，L4和L5由拉格朗日在1772年得到，发表在他的论文“三体问题”中。
从图4a所示，拉格朗日点中的三个：L1、L2、L3位于两个大天体的连线上，L4和L5则分别位于连线的上方和下方与大天体距离相等并组成一个正三角形的两个对称点上。可以从数学上证明，在连线上的三个拉格朗日点不是真正“稳定”的点，它们对应于“鞍点”类型的极值点。只有L4和L5是对应于最小值的稳定点。也就是说，当小质量位于L4和L5时，即使受到一些外界引力的扰动，它仍然有保持在原来位置的倾向。图4b显示了在L4点对小天体的3个作用力（地球引力、太阳引力、离心力）是如何平衡的。有趣的是，我们都知道力学结构中的三角形与稳定性有关，当小质量位于L4和L5时，三个质点正好构成一个等边三角形，这是否暗藏了某种稳定性原理呢？L4和L5有时也被称为“三角拉格朗日点”或“特洛伊点”。
初一看，五个拉格朗日点的存在似乎没有多大的实际意义，只像是个趣味数学游戏。但是，没想到它们还真有一定的实际用途，自然界的实例也证明，稳定解在太阳系里就存在。1906年，天文学家首次发现木星的第588号小行星和太阳正好等距离，它同木星几乎在同一轨道上超前60°运动，3者一起构成等边三角形。同年发现的第617号小行星则在木星轨道上落后60°左右，构成第2个正三角形。之后进一步证实，木星轨道上有小行星群（特洛伊群和希腊群）是分别位于木星和太阳的拉格朗日点L4和L5上。有时将这类小行星群统称为特洛伊群，迄2007年9月为止，已经确认的特洛伊小行星有2,239颗，其中1,192颗在L4点，1,047颗在L5点。
此外，在土星-太阳系统及火星-太阳系统的L4和L5点上也都发现有小卫星存在。还曾经在地球-太阳系统的L4和L5点上发现存在尘埃群，2010TK7是首颗被发现的地球的特洛伊小行星。对微观世界的研究也发现拉格朗日稳定点的存在。
在发射人造卫星及其它人造天体时，科学家和工程师们也考虑和利用这些拉格朗日点的存在。我们可以以太阳和地球加小星体的系统为例来考察一下这些特殊点。比如，L1、L2、L3都在日地连线上，L1在日地之间，小星体在这个位置时，它的轨道的周期恰好等于地球的轨道周期。日光探测仪即可围绕日地系统的L1点运行。L2点偏向地球一侧，通常用于放置空间天文台，如此可以保持天文台背向太阳和地球的方位，易于保护和校准。L3在日地连线上偏向太阳一侧，像是与地球对称，一些科幻小说中称之为“反地球”。
所以，18世纪时拉格朗日研究三体问题找到的特解还是有点用处的。但是如果回到三体问题微分方程的通解问题，数学家们至今仍然是一筹莫展，只能用计算机数字求解来探讨这类问题。
法国数学家庞加莱（1854-1912）对三体问题的研究导致和催生了“混沌”这个崭新的数学概念。在1887年，瑞典国王奥斯卡二世为了祝贺他自己的60岁寿诞，赞助了一项现金奖励的竞赛，征求太阳系的稳定性问题的解答，这实际上是三体问题的一个变种。尽管当时庞加莱没有真正解决这个问题，但他对此问题超凡的分析方法使他赢得了奖金。庞加莱提出的实际上就是后来被称之为“蝴蝶效应”【4】的概念。他的意思是说如果初始值有一个小的扰动，后来的结果就可能会有极大的不同，以至于我们不能完全预测系统的最终状态。
图6：从2体问题的精确解到3体问题的混沌解
庞加莱发现即使在简单的三体问题中，方程的解的状况也会非常地复杂，以至于对于给定的初始条件，几乎是没有办法预测当时间趋于无穷时，这个轨道的最终命运。事实上，这正是后来物理学上发现的著名的混沌概念之萌芽。
参考文献：
【1】维基百科：航海家计划
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%88%AA%E6%B5%B7%E5%AE%B6%E8%A8%88%E7%95%AB
【2】Minovitch,Michael (July 11, 1961). "An Alternative Method for Determination ofElliptic and Hyperbolic Trajectories" (PDF). Jet Propulsion LaboratoryTechnical Memos (TM-312-118).
【3】JohnE.Prussing, Bruce A.Conway, Orbital Mechanics, 1993, Oxford Univ.Press
【4】《蝴蝶效应之谜-走近分形与混沌》，张天蓉，清华大学出版社，2013年7月。
本文是同步发表在微信号“知识分子”和“太空联盟”系列文章《星星背后的物理》之4
“知识分子”（微信公号：The-Intellectual）
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作者：张天蓉（科学网博客）
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