正定矩阵一定可逆吗
更新时间:2021-12-29

正定矩阵一定可逆吗


  正定矩阵一定可逆吗


  正定矩阵可逆。因为正定的充分必要条件是其顺序主子式全大于0,若矩阵A正定,则必有 |A|(矩阵A的行列式)>0,所以矩阵A可逆。


  设M是n阶方阵,如果对任何非零向量z,都有zTMz> 0,其中zT 表示z的转置,就称M为正定矩阵。例如:B为n阶矩阵,E为单位矩阵,a为正实数。在a充分大时,aE+B为正定矩阵。(B必须为对称阵)。


  或者一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z,都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。


  扩展资料:


  正定矩阵有以下性质 :


  (1)正定矩阵的行列式恒为正;


  (2)实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同;


  (3)若A是正定矩阵,则A的逆矩阵也是正定矩阵;


  (4)两个正定矩阵的和是正定矩阵;


  (5)正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。